Klara Eham wurde 1996 geboren und wuchs in einem Vorort von München auf. In ihrer Jugend spielte sie in verschiedenen Schultheater- und Laienspielgruppen, als Statistin in zwei Produktionen des Theaters im Marstall sowie drei Jahre im Jugendclub des Münchner Volkstheaters. Nach dem Abitur im Jahr 2015 arbeitete sie einige Monate als Praktikantin der Kommunikation und Öffentlichkeitsarbeit am Deutschen Theater Berlin, bevor sie im April 2016 ihr Schauspielstudium an der Folkwang Universität der Künste in Essen/Bochum aufnahm.
Während ihres Studiums wirkte sie in der Spielzeit 2017/18 am Theater Dortmund in der Inszenierung Das Internat (Regie: Ersan Mondtag) mit, welche zum 56. Berliner Theatertreffen eingeladen wurde, und 2018/19 als Teil der Produktion Was glänzt von Gerhild Steinbuch (Regie: Philipp Becker) am Schauspielhaus Bochum, mit welcher die Klasse einen Förderpreis beim 30. Bundeswettbewerb deutschsprachiger Schauspielstudierender erhielt. Im Rahmen des Internationalen Shakespeare Festivals Essen 2018 führte sie ein Gastspiel des Stücks Die Zähmung der Widerspenstigen nach Shakespeare (Regie: Achim Lenz) nach Ramallah.
Filmerfahrungen sammelte sie in mehreren studentischen Filmprojekten sowie zuletzt als Episodenhauptrolle in einer Folge von In aller Freundschaft – Die jungen Ärzte (Regie: Franziska Hörisch).
Seit der Spielzeit 2019/20 ist Klara Eham festes Ensemblemitglied am Volkstheater Rostock.